[제어공학] 5. 1차, 2차 지연 제어계의 과도 응답

  일반적인 1차, 2차 지연 제어계에서의 과도응답을 살펴보도록 하겠습니다. 두 가지 경우 모두 입력은 단위계단입력 r(t)=u(t)일 때를 고려하겠습니다.

 

1. 1차 지연 제어계의 과도 응답

  일반적인 1차 지연 제어계의 전달함수는 다음과 같습니다.

<1차 지연 제어계의 전달함수>

  입력 r(t)=u(t)를 고려하므로, R(s)=1/s를 위 식에 대입해 응답 C(s)로 정리하면,

  역 라플라스 변환을 위해 부분분수 전개를 하였고, 과정은 생략하였습니다. 결국 응답은 다음과 같습니다.

  이를 그래프로 표현하게 되면,

  위와 같이 나타나게 됩니다.

 

  1차 지연제어계에서 단위계단입력일때, 응답특성은 전달함수의 T값에 따라 변한다는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

2. 2차 지연 제어계의 과도 응답

  이 2차 지연 제어계의 과도 응답은 잘 기억하셔야 합니다. 먼저 일반적인 2차 지연 제어계의 전달함수를 보면

<2차 지연 제어계의 전달함수(wn=고유진동각주파수)>

  이며, 역시 입력을 단위계단입력인 r(t)=u(t)를 대입하게 되면 출력 C(s)는

  여기서 분모항의 2차식을 인수분해하면,

  역 라플라스 변환을 위해 부분분수전개를 하면,

  이를 역 라플라스 변환을 하게 되면 구하고자 하는 2차 지연제어계의 응답을 구할 수 있습니다.

 

  그런데, 그 전에 먼저 이 식을 통해 알 수 있는 것은 wn은 고유진동각주파수로 변화하지 않는 값이기 때문에 δ값에 의해 특성근의 위치를 결정한다는 것을 알 수 있습니다.  따라서 각각의 δ값의 범위에 따라 그 의미를 살펴보면 다음과 같습니다.

  위와 같이 δ값에 따라 제어계의 출력특성이 달라지고, 위와 같은 그래프로 나타난다는 것을 알 수 있습니다. 이 δ값에 대해 조금 더 자세히 살펴보도록 하겠습니다.

 

 

 

 

3. 특성방정식의 근의 위치별 과도 응답 

  위에서 살펴본 일반적인 2차 지연 제어계의 전달함수는 아래와 같은 형태였습니다.

  그럼 이 식에서 특성방정식을 찾아보면 다음과 같습니다.

  이 2차방정식의 근이 바로 특성근이므로 그 근을 구하면,

  근의 공식을 이용하면 간단하게 계산할 수 있습니다.

 

  이제 이 근들을 δ값에 따라 복소평면상의 위치가 달라지므로 δ값의 범위에 따라 근위 위치가 어디에 자리하는지 살펴보도록 하겠습니다.

 

  1) δ>1 (과제동) : δ가 1보다 크므로 특성근은 다음과 같습니다.

  즉, 근호 안의 값이 1보다 크기 때문에 음의 서로다른 실근임을 알 수 있습니다.

 

  2) δ=1 (임계제동) : 근호 안의 값이 0이 되므로 특성근은 다음과 같습니다.

  임계제동은 특성근이 중근을 가질 때라는 것을 알 수 있습니다.

 

  3) 0<δ<1 (부족제동) : δ값이 1보다 작으므로 근호 안이 음수가 되어 특성근은 다음과 같습니다.

  이 때는 특성근이 음의 실수부를 갖는 공액복소근이 됩니다.

 

  4) δ=0 (무제동) : δ=0을 대입하면 근은 다음과 같습니다.

  허수축 상에 두 근이 존재하게 된다는 것을 알 수 있습니다.

 

  이 근들을 복소평면에 표현해보면,

  이렇게 위치하고 있습니다. 즉, 출력을 일정한 값으로 수렴하게 하는 근은 복소평면상 좌반면에 존재해야 합니다. 이후에도 계속해서 나오지만 이렇게 특성근의 위치를 통해 제어계가 안정한지를 알 수 있습니다.