[제어공학] 8. 형에 의한 제어계의 분류 및 입력에 따른 정상편차

  앞서 정상편차에 대해 알아보며 이 정상편차는 다음과 같은 식에 의해 구할 수 있다는 것을 보았습니다. 그리고 이 식으로부터 편차의 존재를 결정짓는 것은 G(s)라는 것도 알 수 있습니다.

  따라서 바로 이 전달함수 G(s)로부터 제어계를 분류하고 있습니다.

 

 

1. 형에 의한 제어계의 분류

  전달함수 G(s)는 입력과 출력에 의해 나타나고, 분모와 분자가 s에대한 고차항으로 나타납니다. 또한, 다양한 극점과 영점이 존재하고 있다면 이 전달함수 G(s)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

  이 식을 다시 풀어쓰게 되면,

  분모, 분자항의 상수항을 1로 만들기 위해 새로운 상수 k를 도입하여 정리하였습니다. 그러나 위 정상편차의 식으로부터 우리가 궁금했던 것은 정상편차에서 분모의 형태였습니다.

  따라서 이 극한값이 어떤 형태를 띄는지가 바로 제어계를 분류하는 기준이 되는 것입니다. 결국,

  이 되므로, 여기서 l의 값에 의해 제어계의 형이 결정된다는 것을 알 수 있습니다.  그리고, 여기서 l의 값에 따라 제어계를 다음과 같이 분류를 하게 됩니다.

 

  1) l=0 : 0형 제어계

  2) l=1 : 1형 제어계

  3) l=2 : 2형 제어계

 

  이와 같은식으로 l=n 이라면 n형 제어계가 되는 것입니다. 다음의 입력에 따른 정상편차를 보게되면 이해하기 쉬울 것입니다.

 

 

 

2. 기준입력시험에 대한 정상편차

  기준입력은 지금까지 살펴보았던 위치, 속도, 가속도입력을 말합니다. 그럼 각각의 경우에서 정상편차를 한 번 살펴보도록 하겠습니다.

 

  1) 정상 위치 편차       

  이러한 입력을 우리가 알고있는 정상편차 식에 대입해보도록 하겠습니다.

<정상위치편차>

  다음에 나올 정상속도편차와 가속도편차로부터 구분을 짓기 위해 첨자p를 사용했습니다. 여기서 형에 따른 제어계의 G(s)값들을 대입해보도록 하겠습니다.

 

  (1) 0형 제어계         

  그럼 정상위치편차는

  여기서 Kp를 정상위치편차 상수라고 말합니다. 

 

  (2) 1형 제어계

  l=1일 때이므로 위와 같은 형태로 나올 것입니다. 이를 대입하면,

  분모항이 무한대로 발산하기 때문에 결국 1형 제어계에서 정상위치편차는 0이 된다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 1형 이상의 제어계는 계속해서 G(s)의 극한값이 무한대가 나오므로 모두 정상편차는 0이 될 것입니다.

 

 

  2) 정상 속도 편차

  이 입력을 정상편차 식에 대입하게 되면,

<정상속도편차>

  가 된다는 것을 알 수 있습니다. 역시 형에 따라서 살펴보도록 하겠습니다.

 

  (1) 0형 제어계

  이므로, 위 식에 대입하면,

  로 발산한다는 것을 알 수 있습니다.

 

  (2) 1형 제어계

  이 값을 위에 대입하게 되면,

  로 나타나게 됩니다. 역시 Kv를 정상속도편차상수라고 합니다.

 

  (3) 2형 제어계

  이므로 정상편차식에 대입하면,

  즉, 정상속도편차는 2형 제어계 이상에서 편차는 0이라는 것을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

  3) 정상가속도편차

  이제 입력을 보면 어떤 형태로 나오게 될지 감이 오셨을 겁니다. 정상편차를 살펴보면

<정상가속도편차>

  와 같은 형태로 나오므로 2형제어계에서 정상편차가 존재할 것이라는 것을 예상할 수 있습니다.

 

  (1) 0형 제어계

  이므로 정상가속도편차는,

  로 나타납니다.

 

  (2) 1형 제어계

  이므로 정상가속도편차는,

  가 됩니다.

 

  (3) 2형 제어계

  이므로 정상가속도편차는,

  가 되고, 역시 Ka를 정상가속도편차상수라고 말합니다.

 

  (4) 3형 제어계

  이므로 정상가속도편차는,

  가 되므로, 3형 이상의 제어계에서 정상가속도편차는 0이 된다는 사실을 알 수 있습니다.

 

 

 

  몇 가지 예제를 살펴보도록 하겠습니다.

 

  ex.1) 개루프 전달함수가 다음과 같을 때, 단위 계단 입력에 대한 정상편차를 구하시오.

  단위계단입력이므로 R=1이고, 정상위치편차를 구하면 됩니다. 따라서

  으로부터 분모의 limG(s)에 주어진 G(s)를 대입하면

  정상편차를 구해야하므로 꼭 essp에 구한 Kp를 대입해서 구해야 합니다.

 

  ex.2) 개루프 전달함수가 다음과 같을 때, 단위 속도 입력에 대한 정상편차를 구하시오.

  위에서 정상속도편차는 다음과 같았습니다.

  역시 단위속도입력이므로 R=1이고, 따라서 주어진 G(s)를 대입하면,

  로 구할 수 있습니다.

 

  ex.3) R(s)와 G(s)가 다음과 같은 단위 Feed-back 제어계에서의 정상편차를 구하시오.

  먼저 정상편차를 구해야 하므로

  에 주어진 값들을 대입하여 구하면 됩니다. 하지만, 위 블록선도에서 알 수 있듯이 G(s)가 2형 제어계이므로 정상가속도편차만 존재할 것입니다. 따라서 주어진 입력에서 우리가 고려해야 할 것은

  항만 고려하면 됩니다. 따라서,

  로 구할 수 있습니다.